Admin
10/09/2023
Share
Tập hợp xuất hiện rộng rãi trong toán học hiện đại. Lý thuyết về tập hợp đã trở thành phương pháp tiêu chuẩn để cung cấp kiến thức chính xác cho hầu hết các lĩnh vực toán học từ nửa đầu thế kỷ 20 đến nay.
Tập hợp và biểu đồ ven có thể được coi là các khái niệm phổ biến mà chúng ta đã học từ bài đầu tiên khi làm quen với các loại tập hợp số tự nhiên, số nguyên, số hữu tỉ, số vô tỉ và số thực trong chương trình toán của trung học cơ sở.
Các bạn sẽ được giới thiệu về khái niệm tập hợp trong bài viết này. Ngoài ra, bài viết cũng sẽ cung cấp thông tin về các phép toán liên quan đến tập hợp và những dạng bài thường gặp.
Định nghĩa
Tập hợp trong toán học có thể được hiểu là một tụ tập của các đối tượng vô hạn hoặc hữu hạn. Các đối tượng này được gọi là phần tử của tập hợp.
Một tập hợp có thể được tạo thành từ các phần tử đa dạng như số, điểm trong không gian, ký hiệu, đường thẳng, hình dạng hình học khác, biến hoặc thậm chí từ các tập hợp khác.
Một tập hợp này có thể được xem là thành viên của một tập hợp khác. Tập hợp đó có các phần tử nhỏ hơn được gọi là họ tập hợp và được kết hợp lại.
Một nhóm có thể chứa nhiều thành viên hoặc thậm chí không có thành viên nào.
Ví dụ:.
Ký hiệu và biểu đồ
Dưới đây là những mục sẽ giải thích chi tiết hơn về cách biểu diễn tập hợp và các ký hiệu thường được sử dụng trong toán học tập hợp.
Ký hiệu
Tập hợp được biểu diễn bằng các chữ cái in hoa. Các phần tử được ghi trong hai dấu ngoặc nhọn { } và cách nhau bằng dấu , hoặc ;.
Phần tử a nằm trong tập hợp A: a thuộc A.
Phần tử a không nằm trong tập hợp A: a∉ A.
Biểu thị
Mỗi tập hợp bao gồm hai phần: tên và danh sách các phần tử của tập hợp. Tên tập hợp được sử dụng để phân biệt với các tập hợp khác, phải là duy nhất và không trùng với tên của bất kỳ tập hợp nào khác.
Ví dụ: Hãy biểu diễn tập hợp các số tự nhiên nhỏ hơn 5.
Gọi B là tập hợp các số tự nhiên nhỏ hơn 5, trong trường hợp này chúng ta đại diện như sau:
A = {0;1;2;3;4}.
Ví dụ 2: Tập hợp các chữ cái viết hoa A, B, C, D, E, F.
Gọi k là tập hợp các chữ cái A,B,C,D, E, F. Lúc này ta đại diện như sau:.
N = {A, B, C, D, E, F}.
Lưu ý:.
Cách xử lí một tập hợp
Có thể xác định một tập hợp bằng cách chỉ ra các tính chất đặc trưng của các phần tử trong nó. Điều này có thể được thực hiện theo 2 cách sau.
Danh sách từng phần tử theo thứ tự: C = {phần tử}.
Tính chất đặc biệt của các yếu tố sẽ giúp thu gọn những tập đoàn dài.
Một tập hợp mà không có phần tử nào được gọi là tập hợp trống, kí hiệu là Ø.
Mỗi tập hợp đều là tập hợp con của chính nó. Ta quy ước rằng tập hợp rỗng là tập hợp con của mọi tập hợp.
Đại diện tập hợp cơ bản
Theo cách căn bản, chúng ta sẽ đưa ra danh sách tuần tự các thành phần có trong tập đoàn.
Chẳng hạn như dưới đây:
Biểu diễn tập hợp A, A bao gồm các số từ 0 tới 4. Tập hợp A được biểu diễn như sau:.
A = {0; 1; 2; 3}.
Đại diện hóa tập hợp nâng cao
Tùy theo từng loại bài toán, chúng ta sẽ có những phương pháp biểu diễn cơ bản hoặc tiên tiến.
Chẳng hạn như dưới đây:
N là tập hợp những [số tự nhiên] (tức là các số từ 0 trở đi).
Tập hợp A được biểu thị bằng các số từ không đến bốn theo cách sau:
A = {x∈ N | x < 5}, với N là tập hợp các số tự nhiên.
Tập hợp A chứa các số x thuộc tập hợp các số tự nhiên N, với điều kiện rằng x phải nhỏ hơn 5.
Tổng kết để viết biểu diễn tập hợp thì chúng ta có hai phương pháp thông dụng như sau:
Cách cơ bản: Đưa ra danh sách theo thứ tự tất cả các thành phần.
Cách nâng cấp: Dựa vào những thuộc tính đặc biệt của tập hợp sẽ được biểu diễn tăng cường.
Đồ họa hóa tập hợp
Cách biểu diễn thường gặp trong các bài tập toán là sử dụng hình để đại diện cho một tập hợp. Để thực hiện điều này, ta sẽ sử dụng một hình tròn để chứa tất cả các phần tử của tập hợp, sau đó sẽ sử dụng một mũi tên để chỉ đến tên của tập hợp đó.
A bao gồm các thành phần: a, b, c: A = {a, b, c}.
B gồm các thành phần a, b, m, n: B = {a, b, m, n}.
Các Tập Hợp Cơ Bản
Tập hợp của các số tự nhiên được ký hiệu quy ước là N
N={0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 ..}.
Tập hợp các số nguyên có ký hiệu quy ước được gọi là Z
Z={…Âm bốn, âm ba, âm hai, âm một, không, một, hai, ba, …}.
Tập hợp số nguyên bao gồm các thành phần là số tự nhiên và số âm của chúng.
Tập hợp của các số nguyên dương được ký hiệu theo quy ước là N*.
Tập hợp của các số hữu tỉ, được ký hiệu quy ước là Q
Q={ a/b; a, b∈Z, b≠0}.
Số hữu tỉ có thể được biểu diễn dưới dạng số thập phân hữu hạn hoặc số thập phân vô hạn tuần hoàn.
Tập hợp các số thực không giới hạn được ký hiệu là R
Mỗi số trong tập hợp I được biểu diễn dưới dạng số vô tỉ, tức là số thập phân vô hạn không lặp lại. Tập hợp các số thực bao gồm cả số hữu tỉ và số vô tỉ.
Tương quan giữa các tập hợp số
Phần tử con
A được gọi là tập hợp con của B nếu tất cả các phần tử trong A đều thuộc B, được kí hiệu là:.
A ⊂ B ⇔ x ∈ A => x ∈ B.
Mối quan hệ bao gồm giữa các tập hợp số là: Tập số tự nhiên nằm trong tập số nguyên nằm trong tập số hữu tỉ nằm trong tập số thực.
Hai tập hợp có cùng số phần tử
Nếu tất cả các phần tử trong tập hợp A và tập hợp B đều giống nhau, chúng được xem là bằng nhau và được kí hiệu là A = B. Biểu thị như sau:
A = B ⇔ A là tập con của B và B là tập con của A.
Biểu đồ Pie
Một đường cong khép kín được sử dụng để minh họa một tập hợp trên một phần của mặt phẳng. Các điểm trên phần mặt phẳng này biểu thị các phần tử của tập hợp đó.
Mối liên hệ giữa các tập hợp số được hiển thị một cách trực quan qua biểu đồ Ven.
Các Phép Toán Với Tập Hợp
Phép giao
Tập hợp giao của hai tập hợp A và B, được kí hiệu là A ∩ B, bao gồm các phần tử thuộc tập hợp B. Cách biểu diễn như sau:
A giao B bằng tập hợp các phần tử x sao cho x thuộc A và x thuộc B.
Phép kết hợp
A ∪ B = {x | x thuộc A hoặc x thuộc B}
A ∪ B = {x/ x thuộc A hoặc x thuộc B}.
Phép trừ
Tập hợp A\B là hiệu của tập A và tập B, được biểu diễn bằng cách chứa các phần tử thuộc tập A nhưng không thuộc tập B.
A\B= {x/ x thuộc A và x không thuộc B}.
Phần thay thế
Nếu B nằm trong A thì AB được gọi là phần còn lại của B trong A. Kí hiệu là CAB.
Ví dụ mô phỏng các phép toán:
A là tập chứa các chữ cái trong câu “CÓ CHÍ THÌ NÊN”, trong khi B là tập chứa các chữ cái trong câu “CÓ CÔNG MÀI SẮT CÓ NGÀY NÊN KIM”.
Xác định các thành phần của: A giao B, A hợp B, A trừ B, B trừ A.
Giải pháp của ví dụ này như sau:
A= { Tôi, Nguyên tố, Không gian, Tính chất, Công thức, Ê-kíp, Hiện tượng}.
B = {K, I, G, O, Ô, A, Ă, C, E, M, N, S, T, Y}.
A ∩ B = { N, O, T, C, Ê, I}.
A ∪ B = { G, H, I, K, M, A, Ă, C, E, Ê, N, O, Ô, S, T, Y}.
A\B = {H}
B\A = (M,S,Y,K, A,Ă,G,Ô)
Ví dụ 2:
Đối với tập hợp A, hãy xác định.
A giao A, A hợp A, A giao Ø, A hợp Ø.
Giải pháp của ví dụ này như sau:
Giao của tập hợp A với chính nó là tập hợp A;
A ∪ A = A;
A giao với Ø bằng Ø.
A ∪ Ø = A;
Một số dạng toán ứng dụng của phép toán tập hợp
Dạng 1: Xác định tập và các phép toán trên tập
Ví dụ:.
Cho A là tập hợp các học sinh khối 11 đang học ở trường, và B là tập hợp các học sinh đang học môn Văn ở trường. Ta có thể diễn đạt các tập hợp sau như sau: A hợp B (A∪B); A giao B (A∩B); A trừ B (A∖B); B trừ A (B∖A).
Phương pháp 2: Sử dụng biểu đồ Venn để giải bài toán về tập hợp
Để sử dụng đồ thị ven để giải bài toán tập hợp, chúng ta thực hiện theo 3 giai đoạn như sau:.
Dạng 3: Các phép toán trên tập hợp con của các tập số thực
Sắp xếp theo thứ tự tăng dần các điểm bắt đầu của các tập hợp A, B trên trục số.
– Biểu diễn các tập A, tập B trên trục số (phần nào không thuộc các tập hợp do thì gạch bỏ).
Phần không bỏ chính là giao điểm của hai tập A, B.
Sắp xếp theo thứ tự tăng dần các giá trị đầu tiên của các tập hợp A, B trên trục số.
Gạch đậm các tập hợp A, tập B trên trục số.
Phần in đậm là giao của hai tập A, B.
Sắp xếp theo thứ tự tăng dần các giá trị đầu tiên của các tập hợp A, B trên trục số.
Biểu diễn các tập A trên trục số (kẻ đường phân cách những điểm không thuộc A ). Kẻ đường phân cách những điểm thuộc B.
Phần không bị gạch là A trừ B.
Bài viết trên này đã chia sẻ đến người đọc về khái niệm Tập hợp là gì? Ngoài ra, nó cũng cung cấp thông tin về các phép toán và các dạng bài phổ biến liên quan đến tập hợp. Mong rằng những thông tin này sẽ hữu ích cho quá trình học toán của bạn.
